Основні теореми теорії 2F-планарних відображень псевдоріманових просторів з f-структурою

Abstract

В статті вивчаються базові питання теорії 2F-планарних відображень многовидів, які наділені афінорною структурою певного типу. Раніше ми довели, що псевдорімановий простір з абсолютно паралельною f-структурою є добутком двох псевдоріманових просторів, один з яких - келеровий, а клас псевдоріманових просторів з абсолютно паралельною f-структурою є замкнутим відносно розглянутих відображень.
 Крім того, за умовою коваріантної сталості афінора f-cтруктури у відображуваних просторах нетривіальні 2F-планарні відображення можуть бути трьох типів: повні і канонічні I, II типів, і в залежності від типу 2F-планарне відображення індукує на компонентах добутку відображуваних просторів геодезичне, голоморфо-проективне або афінне відображення.
 Нами були побудовані геометричні об'єкти, інваріантні відносно розглянутих відображень всіх типів, виділено класи просторів, які допускають 2F-планарне відображення на плоский простір, а також знайдено їх метрики в спеціальній системі координат.
 Далі виникає закономірне питання про те, чи існують інші класи просторів, які допускають 2F-планарні відображення, і як їх знайти. У цій статті, використовуючи методи, розроблені в теорії геодезичних відображень, ми зводимо основні рівняння 2F-планарних відображень основного типу до виду, який допускає ефективне дослідження - це так звана нова форма основних рівнянь. Використовуючи цю нову форму, ми, зокрема, показали, що псевдорімановий простір з абсолютно паралельною f-структурою, в якому існує конциркулярне або квазіконциркулярне векторне поле, допускає нетривіальне 2F-планарне відображення основного типу. Доведені теореми дають регулярний метод, що дозволяє для будь-якого псевдоріманового простору з абсолютно паралельною f-структурою (Vn, gij , Fhi) або знайти всі простори $(overline{V}_n, overline{g}_{ij}, overline{F}^h_i )$, на які Vn допускає 2F-планарне відображення основного типу, або довести, що таких просторів немає.